f u h

Dimostriamo: F U H è un sottospazio vettoriale se e solo se F è contenuto in H o H è contenuto in F () Si ragiona per contrapposizione mostrando: F non contenuto in H e H non contenuto in F => F U H non è un sottospazio vettoriale. Se F non è contenuto in H esiste f in F tale che f non appartiene a H. Nello stesso modo esiste h in H tale che h non appartiene a F. Mostriamo che h+f non appartiene a H U F.
Se h+f appartiene a H allora h+f = h', con h' in H. Pertanto f = h'-h appartiene a H, ma questo è assurdo. Nello stesso modo si mostra che h+f non appartiene a F, e la tesi segue.